Tema y variaciones – Arte africano y geometría fractal – I

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Tema y variaciones – Arte africano y geometría fractal – I

A Paco Montañés, pintor.

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Las tebræ son poemas de dos versos (de 6 pies en el primer verso y de 8 en el segundo),  más cortos que los haikus, inicialmente creados por mujeres de lengua hasaniya del desierto del Sáhara. Son como objetos cuya estructura se repite en escalas y dimensiones diferentes. Responden así a la definición de fractal. La estructura de dos versos se reproduce en textos auto-similares, recursivos y siguiendo un patrón «factal». La estructura se reproduce a diversas escalas, formando, a medida que se extiende, los poemas como estructuras cada vez más grandes de las mismas formas poéticas modulares. Las tebræ, como poesía fractal, se constituyen recursivamente, como si se tratara de cajas chinas, de acuerdo con un patrón de construcción a escalas diferentes.

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El primer estudio sistemático de los objetos fractales fue realizado por el matemático Benoît Mandelbrot en Les Objets fractals: forme, hasard et dimension (1^re éd., 1975) [Les Objets fractals : forme, hasard et dimension suivi de Survol du langage fractal, 1989, 3^e éd., 4ème ed., 1995]. Dicho estudio desarrolla las ideas de lo que ya en 1967 había expuesto en el célebre artículo, publicado el 5 de Mayo de dicho año en la revista Science, titulado How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension [1], si bien en él no aparece aún el término «fractal». Posteriormente, denominó fractales a estos objetos con formas rugosas, porosas o fragmentadas y, a partir de ahí, desarrolló una nueva geometría de la naturaleza y el caos.

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Los fractales se caracterizan por la repetición de patrones similares a escalas cada vez más pequeñas. La geometría fractal se ha convertido en una de las fronteras más fascinantes entre las matemáticas y la tecnología de la información, y se puede observar en muchos de los patrones en espiral producidos por gráficos realizados con ordenador. Se ha convertido en una nueva herramienta para el modelado en biología, geología y otras ciencias naturales. Los antropólogos han observado que los patrones producidos en diferentes culturas pueden caracterizarse por temas de diseño específicos. En Europa y América, a menudo vemos ciudades dispuestas en una cuadrícula de calles rectas y esquinas en ángulo recto. En contraste, los asentamientos africanos tradicionales tienden a utilizar estructuras fractales: círculos de círculos de viviendas circulares, muros rectangulares que encierran rectángulos cada vez más pequeños y calles en las que amplias avenidas se ramifican en pequeños senderos con una llamativa repetición geométrica. Estos fractales indígenas no se limitan a la arquitectura; Ron Eglash, en African Fractals: Modern Computing and Indigenous Design [2] afirma que “sus patrones recursivos resuenan en muchos diseños y sistemas de conocimiento africanos dispares”.

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La arquitectura africana pre-islámica y pre-colonial ofrece los mismos elementos fractales. Como observa Ron Eglash en el estudio mencionado anteriormente, si los africanos usaban casas circulares en su arquitectura, usaban círculos dentro de círculos. Si usaban rectángulos, se veían rectángulos dentro de rectángulos. Estas estructuras están separadas por amplias avenidas que se dividen en estrechas calles más pequeñas que se ramifican en pequeños senderos. Desde una perspectiva europea, esto puede parecer caótico, pero desde un punto de vista matemático, es el caos de la Teoría del Caos: es geometría fractal. Un ejemplo conocido de este caos bien organizado es la ciudad de Labbezanga, en Mali.

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Los mismos objetos fractales que se encuentran en las estructuras urbanas se pueden apreciar en las telas africanas de Tombuctú y del resto de África.

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Charka al-Cilla [tejido Peul, Región del Mácina] [Colección Fondo Kati].

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Charka al-Cilla [tejido Peul, Región del Mácina] [Colección Fondo Kati].

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Mantequina Dogón [Colección Fondo Kati].

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Tejidos Songhay [Colección Fondo Kati].

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Tejidos Songhay [Mali] [Colección Fondo Kati].

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La morfología de las estructuras fractales se identifica en los objetos decorados de diversas materias de África, como calabazas, cucharones, morteros y fundas de cuchillos. También se encuentran en cucharones y calabazas de Tombuctú y otros lugares. Auguste Victor Dupuis-Yacouba, en Industries et principales professions des habitants de la région de Tombouctou [3], ofrece diversos ejemplos de figuras diseñadas de acuerdo con semejantes patrones geométricos en la decoración del cuero, de la bisutería o de la cerámica.

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Los mismos patrones que se encuentran en las telas, los cueros y las cerámicas se encuentran en el trenzado africano. Observamos una simetría bilateral perfecta en las trenzas. Es una correspondencia exacta entre dos figuras con respecto a un eje, como en los reinos animal y vegetal, o un centro, entre otros. Este es un canon artístico natural.

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El sistema adivinatorio de los bambara, los songhay y los yorubas de Benín y Nigeria, entre otros, revela el mismo sistema geométrico en su núcleo. En la adivinación tradicional bambara, un sacerdote adivino comienza dibujando rápidamente cuatro líneas de puntos en la arena. Luego, conecta las rayas de dos en dos. Para las líneas que contienen un número impar de rayas y se quedan con una, dibuja una sola raya. Para las líneas con dos rayas, dibuja dos rayas. Luego repite la operación. La operación matemática se llama «suma módulo 2», que simplemente da el resto después de dividir entre dos. Pero en este caso, las dos «palabras» producidas por el sacerdote, cada una compuesta por cuatro rayas pares o impares, sirven de base para una nueva «suma módulo 2». En otras palabras, es un generador de números pseudo-aleatorios, similar a cómo las computadoras producen números aleatorios. También es un bucle de retro-alimentación digital, al igual que los fractales se generan mediante un bucle de retro-alimentación geométrica. Cada combinación corresponde a versos (“ese” en yoruba) que cuentan una historia mitológica, un cuento, una canción, un proverbio, un acertijo… sobre los que el adivino basará su interpretación. En la tradición yoruba hay 16 versos por cada combinación odu/dou del Fa, lo que suma un corpus total de más de 4096 versos. En otras palabras, cuando se le hace una pregunta a un babalawo (adivino), existen 4096 respuestas posibles, es decir, la misma cantidad de poemas que el adivino debe interpretar para obtener una respuesta [4].

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Los dibujos de arena del pueblo Chekue en Angola son grafos completos que deben dibujarse de un solo trazo, sin cruzar una línea existente ni levantar un dedo. Estos son lo que los matemáticos denominan «patrones eulerianos»; se enseñan a los niños en etapas introductorias. La barrera fractal del Sahel, con sus estructuras no lineales, es coherente con la teoría fractal, al igual que el sistema de adivinación de arena bamanés estudiado por mi profesor de filosofía antigua, Mamadou Lamine Traoré, en Philosophie et géomancie: vers une philosophie originelle africaine [4]. En este sistema, se dibujan 16 símbolos en la arena. Cada símbolo es una palabra binaria de 4 bits generada por trazos que indican si el número de trazos es par o impar: un trazo para impar y dos para par. Los primeros cuatro símbolos se generan aleatoriamente; los 12 restantes combinan los símbolos anteriores según la lógica de que par más impar es igual a impar, e impar más impar es igual a impar. Esta es la lógica detrás del bit de paridad, un sistema básico de verificación de errores utilizado en computadoras para comprobar que los datos estén intactos. El bit de paridad es fundamental para toda comunicación digital [5].

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Los patrones rítmicos y melódicos de la música africana también se expresan mediante fundamentos conceptuales matemáticos cómo la teoría fractal y la auto-similitud. Así, la música de los Ewe de Ghana, los Yoruba de Nigeria y los Mandingas de Mali presenta patrones rítmicos complejos y auto-similares que se repiten a diferentes escalas.

Las mismas formas que encontramos en la arquitectura, los diseños textiles, la decoración de las casas y los patrones musicales se dan en la poesía africana. Veamos aquí, con Tandina de Diadié Allou, y Bā Haddu y Ay Māma de la poeta de Tombuctú Aïssa Alamiridjé, tres ejemplos de poemas con un carácter fractal marcado:

Tandina

Tandina hey Alfa Cissé Mamadan
Tandina hey Alfa Cissé Mamadan

Yuwar mē yenneri saney di salaamun nda ni
Sheebi mē yenneri saney di salaamun nda ni
Ankaba mē yenneri saney di salaamun nda ni
Hawlakata mē yenneri saney di salaamun nda ni

Tandina hey Alfa Cissé Mamadan

Sama mā di ci wura Alfa Cissé Mamadan
Sama mā di ci badila Alfa Cissé Mamadan
Sama mā di ci al-lūlu Alfa Cissé Mamadan
Sama mā di ci al-mazan Alfa Cissé Mamadan

Tandina heyfo Armā iye ni bey gābi mē
Fāyi di marrakāsin Armā iye ni bey gābi mē
Ulād marrakasin Armā iye ni bey gābi mē
Sharati marrakasin Armā iye ni bey gābi mē

Tandina hey kokoy ber ma boyrey mana

Sareykeyna albāsa saney ni salāmun’da ni
Yingareiber albase iye albāsa saney ni salāmun’da ni
Sidi Yahya albase iye albāsa saney ni salāmun’da ni
Hey, Bāyinde albase iye saney ni salāmun’da ni
Koy Sonkoré mē albase iye saney ni salāmun’da ni
Alkamsu albase iye saney ni salāmun’da ni
Sabābu albase iye saney ni salāmun’da ni

Tandina heyfo kokoy ber hāma ndi ni
Mom yene Tandina hey Lāraw wōyo kamkam di ni

Mawlād Idrisi Lāraw diyo nga kamkam ma na
Mawlād Sulaymān Lāraw diyo nga kamkam ma na
Mawlād Nāsibey Lāraw diyo nga kamkam ma na

Ay mow Bujbeyha Lāraw wōyo kamkam di ni
Ay mow Tawdenna Lāraw wōyo kamkam di ni
Ay mow Yarawān-ganda Lāraw wōyo kamkam di ni

Tandina heyfo Arma ije ni bey gābi mē

Tandina hey Yoro yer ma koy Tūmbutu
Fāji di marrākasin Yoro yer ma koy Tūmbutu
Ulād marrākasin Yoro yer ma koy Tūmbutu
Sharati marrākasin Yoro yer ma koy Tūmbutu

Sīdi bin Sīdi ni nga hōy nē herē mē
Kabitān al-Jinši Darā di yō nga hōy nē herē mē

Tandina hey Yoro yer ma koy Tūmbutu

Tandina hey lājaw koy ma lājaw mana
Šarati marrākasin lājoy koy ma lājaw mana
Ulād marrākasin lājoy koy ma lājaw mana.

Tandina hey Yoro yer ma koy Tūmbutu

Surgo sārey zeyban zeyban wōyo nga wēle nda nō
Bon-fendu zeyban zeyban diyō nga hōy nē here mē
Cenga-bomo zeyban zeyban diyō nga hōy nē here mē
N’gorfu-hondu zeyban zeyban diyō nga hōy nē here mē
Tākūti zāri zeyban zeyban diyō nga hōy nē here mē
Gungu bomo zāri zeyban zeyban diyō nga hōy nē here mē

Tandina hey boro diyo go sallām ni ga
Tandina hey fo Surgo yo n’ga hamney mana
Yer mōw kel Yurgu Surgo yo n’ga hamney mana
Yer mōw Tenguereguef Surgo yo n’ga hamney mana
Yer mōw kel Kel Ta borīti Surgo yo n’ga hamney mana
Yer mōw kel Kel Ta Mulayti yo n’ga hamney mana
Yer mōw Ulimiden Surgo yo n’ga hamney mana

Tandina hey Alfa Cissé Mamadan
Sama mā di ci wura Alfa Cissé Mamadan.

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El ritmo que se lee en los pentagramas se traduce en motivos fractales. En «Tombouctou et la musique Arma», sus autores indican que

Cette chanson peut-être encadré dans une mesure binaire, laúd avec la percussion, réalise une introduction de neuf mesures. Nous avons transcrit la première strophe, du fait que le reste répète la musique bien qu’avec d’autres lettres. Certaines strophes contiennent un plus grand nombre de vers, mais toujours adaptés à la même mélodie. La voix se meut dans un cadre d’un quart, avec une structure récitative et descendante avec des degrés conjoints à a conclusion. la note mí , est la plus grave, elle aussi le point de repos et de référence de la chanson. Des périodes à mode récitatifs avec la référence en sol, sauf la première fois qu’elle se réalise en la, et des descentes jusqu’au mi font la conformité de l’oeuvre. le laúd joue avec quatre notes dans le contour d’une quinte. en tour de tierces, quartes, quintes (pour se résoudre en quartes), avec une référence ryhmique en la note la point de départ et de retour des sauts. Le rythme forme un cercle avec un début syncopé, dans le shéma des cycles rythmique africains [6].

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Ismaël Diadié Haïdara

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Notas al texto

[1] https://www.science.org/doi/10.1126/science.156.3775.636

[2] Ron Eglash. African Fractals: Modern Computing and Indigenous Design. Rutgers University Press, 1999. ISBN: 978-0813526140.

[3] Auguste Victor Dupuis-Yacouba. Industries et principales professions des habitants de la région de Tombouctou. Larose, Paris, 1921.

[4] Mamadou Lamine Traoré. Philosophie et géomancie: vers une philosophie originelle africaine. Donniya, Mali, 2007. ISBN: 2-911741-50-1.

[5] Véase: https://www.youtube.com/watch?v=P92gvVVVFcQ&t=31s.

[6] Esta canción se puede enmarcar en un compás binario. El laúd, con percusión, presenta una introducción de nueve compases. Hemos transcrito la primera estrofa, ya que el resto repite la música, aunque con otras letras. Algunas estrofas contienen un mayor número de versos, pero siempre se adaptan a la misma melodía. La voz se mueve en un marco de cuarta, con una estructura recitativa y descendente con grados unidos a la conclusión. La nota mi es la más grave, también el punto de reposo y la referencia de la canción. Los periodos en modo recitativo con la referencia en sol, excepto la primera vez que se realiza en la, y los descensos a mi conforman la obra. El laúd se desarrolla con cuatro notas en el contorno de una quinta, en turnos de terceras, cuartas y quintas (para resolverse en cuartas), con una referencia rítmica en la nota la, punto de inicio y retorno de los saltos. El ritmo forma un círculo con un inicio sincopado, siguiendo el patrón de los ciclos rítmicos africanos. / https://www.youtube.com/results?search_query=Le+mali+des+sables+Les+Songoy